Question

（2012•成都模擬）如圖，AE⊥平面ABC，AE∥BD，AB=BC=CA=BD=2AE=2，F為CD中點．
（Ⅰ）求證：EF⊥平面BCD；
（Ⅱ）求二面角C-DE-A的大小；
（Ⅲ）求點A到平面CDE的距離．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取BC中點G點，連接AG，FG，由F，G分別為DC，BC中點，知FG∥BD且FG=

1

2

BD，又AE∥BD且AE=

1

2

BD，故AE∥FG且AE=FG，由此能夠證明EF⊥平面BCD．
（Ⅱ）取AB的中點O和DE的中點H，分別以OC、OB、OH所在直線為x、y、z軸建立如圖空間直角坐標系，則C（

3

，0，0），D（0，1，2），E（0，-1，1），A（0，-1，0），

CD

=(-

3

，1，2)，

ED

=(0，2，1)．求出面CDE的法向量

n1

=(

3

，-1，2)，（6分）面ABDE的法向量

n2

=(1，0，0)，由此能求出二面角C-DE-A的大小．
（Ⅲ）由面CDE的法向量

n1

=(

3

，-1，2)，

AE

=(0，0，1)，利用向量法能求出點A到平面CDE的距離．

解答：解：（Ⅰ）取BC中點G點，連接AG，FG，
∵F，G分別為DC，BC中點，
∴FG∥BD且FG=

1

2

BD，又AE∥BD且AE=

1

2

BD，
∴AE∥FG且AE=FG，
∴四邊形EFGA為平行四邊形，則EF∥AG，
∵AE⊥平面ABC，AE∥BD，
∴BD⊥平面ABC，
又∵DB?平面BCD，
∴平面ABC⊥平面BCD，
∵G為 BC中點，且AC=AB，
∴AG⊥BC，∴AG⊥平面BCD，
∴EF⊥平面BCD．（4分）
（Ⅱ）取AB的中點O和DE的中點H，
分別以OC、OB、OH所在直線為x、y、z軸建立如圖空間直角坐標系，
則C（

3

，0，0），D（0，1，2），E（0，-1，1），A（0，-1，0），

CD

=(-

3

，1，2)，

ED

=(0，2，1)．
設面CDE的法向量

n1

=（x，y，z），
則

n1 • CD =- 3 x+y+2z=0 n1 • ED =2y+z=0

，
取

n1

=(

3

，-1，2)，（6分）
取面ABDE的法向量

n2

=(1，0，0)，（7分）
由cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

3

( 3 )2+(-1)2+22×1

=

6

4

，
故二面角C-DE-A的大小為arc

6

4

．（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ），
面CDE的法向量

n1

=(

3

，-1，2)，

AE

=(0，0，1)，
則點A到平面CDE的距離
d=

| AE • n1 |

| n1 |

=

2

( 3 )2+(-1)2+22

=

2

2

．（12分）

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的求法，考查點到平面的距離的求法．解題時要認真審題，仔細解答，注意向量法的合理運用．