Question

已知圓M：(+)²+y²=36，定點N(，0)，點P為圓M上的動點，點Q在NP上，點G在MP上，且滿足,.

(1)求點G的軌跡C的方程；

(2)過點(2，0)作直線，與曲線C交于A、B兩點，O是坐標原點，設，是否存在這樣的直線，使四邊形OASB的對角線相等(即)?若存在，求出直線的方程；若不存在。說明理由。

Answer 1

解：(1)由

得Q為PN的中點且GQ⊥PN，所以GQ為PN的中垂線．

因此|PG|=|GN|，從而|GN| + |GM|=|MP|=6，

故G點的軌跡是以M、N為焦點的橢圓，其長半軸長=3，半焦距，

所以短半軸長b=2，所以點G的軌跡方程是．

    (2)因為，所以四邊形OASB為平行四邊形．

    若存在直線使得，則四邊形OASB為矩形，所以．

    若直線的斜率不存在，直線的方程為=2，

    由，得

    所以，這與矛盾，

    故直線的斜率存在．

    設直線的方程為y=k(－2)，A(₁，y_l)、B(₂，y₂)，

    由得

    (9k²+4) ²－36k²+36(k²―1)=0．

所以，①

故②

把式①、②代入，解得．

∴存在直線：3－2y－6=0或3+2y－6=0

使得四邊形OASB的對角線相等．