Question

探究函數，x∈（0，+∞）的最小值，并確定相應的x的值，列表如下：

x	…			1		2		4	8	16	…
y	…	16.25	8.5	5		4		5	8.5	16.25	…

請觀察表中y值隨x值變化的特點，完成下列問題：
（1）若x₁x₂=4，則f（x₁）______f（x₂）（請填寫“＞，=，＜”號）；若函數，（x＞0）在區間（0，2）上遞減，則在區間______上遞增；
（2）當x=______時，，（x＞0）的最小值為______；
（3）試用定義證明，在區間（0，2）上單調遞減．

Answer 1

解：（1）∵x₁x₂=4，f（x₁）=f（）=x₂+=f（x₂）
故答案為：=，（2，+∞） （左端點可以閉）
（2）根據（1）可知x=2時，y_min=4 
（3）設0＜x₁＜x₂＜2，則f（x₁）-f（x₂）=
=
∵0＜x₁＜x₂＜2∴x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜4∴x₁x₂-4＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0∴f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在區間（0，2）上遞減
分析：（1）根據x₁x₂=4，將x₁=代入函數解析式，可得結論，根據表中y值隨x值變化的特點可得函數的增區間；
（2）根據表中y值隨x值變化的特點可得函數的最值；
（3）證明單調性的步驟：取值、作差、變形、定號、下結論，設0＜x₁＜x₂＜2，然后判定f（x₁）與f（x₂）的大小，屬于中檔題．
點評：本題主要考查了函數的最值及其幾何意義，以及函數單調性的判斷與證明，同時考查了計算能力，屬于中檔題．