Question

在平面直角坐標系中，傾斜角為

π

4

的直線l與曲線C：

x=2+cosα y=1+sinα

，（α為參數）交于A、B兩點，且|AB|=2，以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，則直線l的極坐標方程是

 

．

Answer 1

考點：參數方程化成普通方程,點的極坐標和直角坐標的互化

專題：計算題,直線與圓,坐標系和參數方程

分析：設傾斜角為

π

4

的直線l的方程為：y=x+b，將曲線C化為普通方程，即為圓，圓心為（2，1），半徑為1，求出圓心到直線l的距離d，再由弦長公式2

r2-d2

，求得b，再用x=ρcosθ，y=ρsinθ，即可得到所求方程．

解答：解：設傾斜角為

π

4

的直線l的方程為：y=tan

π

4

x+b即有y=x+b，
曲線C：

x=2+cosα y=1+sinα

，（α為參數）化為普通方程為：（x-2）²+（y-1）²=1．
則曲線C為圓，圓心為（2，1），半徑為1，
則圓心到直線l的距離為d=

|2+b-1|

2

=

|1+b|

2

，
弦長|AB|=2

12- (1+b)2 2

=2，解得b=-1．
則直線l：y=x-1．
故直線l的極坐標方程為：ρ（cosθ-sinθ）=1．
故答案為：ρ（cosθ-sinθ）=1．

點評：本題考查參數方程、極坐標方程和普通方程的互化，考查直線和圓相交的弦長公式的運用，考查運算能力，屬于中檔題．