Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c在x=-

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3

與x=1時(shí)都取得極值．
（1）求a、b的值與函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對(duì)x∈[-1，2]，不等式f（x）＜c²恒成立，求c的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出f′（x），因?yàn)楹瘮?shù)在x=-

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與x=1時(shí)都取得極值，所以得到f′（-

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）=0且f′（1）=0聯(lián)立解得a與b的值，然后把a(bǔ)、b的值代入求得f（x）及f′（x），然后討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的增減區(qū)間；
（2）根據(jù)（1）函數(shù)的單調(diào)性，由于x∈[-1，2]恒成立求出函數(shù)的最大值值為f（2），代入求出最大值，然后令f（2）＜c²列出不等式，求出c的范圍即可．

解答：解；（1）f（x）=x³+ax²+bx+c，f'（x）=3x²+2ax+b
由

f′(- 2 3 )= 12 9 - 4 3 a+b=0 f′(1)=3+2a+b=0

解得，

a=- 1 2 b=-2

f'（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1），函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間如下表：

x	（-∞，- 2 3 ）	- 2 3	（- 2 3 ，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	極大值	↓	極小值	↑

所以函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間是（-∞，-

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）和（1，+∞），遞減區(qū)間是（-

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3

，1）．
（2）f(x)=x3-

1

2

x2-2x+c，x∈[-1， 2]，
當(dāng)x=-

2

3

時(shí)，f（x）=

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+c為極大值，而f（2）=2+c，所以f（2）=2+c為最大值．
要使f（x）＜c²對(duì)x∈[-1，2]恒成立，須且只需c²＞f（2）=2+c．
解得c＜-1或c＞2．

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的能力，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的能力，以及理解函數(shù)恒成立時(shí)所取到的條件．