Question

【題目】已知橢圓：與軸的正半軸相交于點，點為橢圓的焦點，且是邊長為2的等邊三角形，若直線與橢圓交于不同的兩點．

（1）直線的斜率之積是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由；

（2）求的面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）;（2）.

【解析】試題分析：第1)由基本量求出橢圓方程后,利用“設而不求”的思想,將用,表示,也就是用表示,最終化出定值;

(2)將面積用表示,化為關于的函數,用基本不等式求最值.

試題解析：（1）因為是邊長為2的等邊三角形，

所以，，，所以，

所以橢圓：，點.

將直線代入橢圓的方程，

整理得：，（*）

設，則由（*）式可得

，

所以，，，

所以直線的斜率之積

所以直線的斜率之積是定值.

（2）記直線與軸的交點為，

則

當且僅當，即時等號成立.

所以的面積的最大值為.

點晴：本題主要考查橢圓基本量的計算,直線與橢圓相交中的定值、最值問題,考查轉化能力、計算能力.第(1)問由基本量求出橢圓方程后,利用“設而不求”的思想,將用,表示,也就是用表示,最終化出定值;第(2)問將面積用表示,化為關于的函數,用基本不等式求最值.