Question

（2012•宿州一模）已知數列{a_n}的前n項和S_n與a_n滿足Sn=-ban+1-

1

(1+b)n

(n∈N*)，其中b是與n無關的常數，且b≠-1．
（1）求a₁，a₂；
（2）求a_n和a_n-1的關系式；
（3）猜想用n和b表示a_n的表達式（須化簡），并證明之．

Answer 1

分析：（1）根據Sn=-ban+1-

1

(1+b)n

(n∈N*)，分別將n=1、2代入，即可得到結論；
（2）n≥2時，Sn-1=-ban-1+1-

1

(1+b)n-1

，Sn=-ban+1-

1

(1+b)n

，兩式相減，化簡可得a_n和a_n-1的關系式；
（3）猜想an=

b+b2+…bn

(1+b)n+1

．用數學歸納法證明猜想an=

b+b2+…bn

(1+b)n+1

成立，證題時要利用到歸納假設．

解答：解：（1）由Sn=-ban+1-

1

(1+b)n

(n∈N*)
當n=1時，S1=a1=-ba1+1-

1

1+b

，∴a1=

b

(1+b)2

當n=2時，S2=a1+a2=-ba2+1-

1

(1+b)2

，∴a2=

b+b2

(1+b)3

（2）n≥2時，Sn-1=-ban-1+1-

1

(1+b)n-1

∵Sn=-ban+1-

1

(1+b)n

，兩式相減，化簡可得an=

b

1+b

an-1+

b

(1+b)n+1

（3）由（1）得：a1=

b

(1+b)2

；a2=

b+b2

(1+b)3

；
由an=

b

1+b

an-1+

b

(1+b)n+1

得：a3=

b+b2+b3

(1+b)4

；
猜想an=

b+b2+…bn

(1+b)n+1

                       …（8分）
下面用數學歸納法證明猜想an=

b+b2+…bn

(1+b)n+1

成立．
（i）當n=1時，a1=

b

(1+b)2

，成立；
（ii）假設n=k時成立，即ak=

b+b2+…bk

(1+b)k+1

，
當n=k+1時，∵an=

b

1+b

an-1+

b

(1+b)n+1

∴ak+1=

b

1+b

ak+

b

(1+b)k+2

=

b

1+b

×

b+b2+…bk

(1+b)k+1

+

b

(1+b)k+2

=

b+b2+…bk+1

(1+b)k+2

所以，當n=k+1時也成立．…（12分）
由（i）（ii）可知，對一切自然數n都成立，即通項為：an=

b+b2+…bn

(1+b)n+1

=

n 2n+1 (b=1) b-bn+1 (1-b)(1+b)n+1 (b≠1)

…（14分）

點評：本題考查數列遞推式，考查數學歸納法，解題的關鍵是正確運用數列遞推式，掌握數學歸納法的證題步驟．