Question

（2009•長寧區二模）如圖，曲線C：y=2^x（0≤x≤2）兩端分別為M、N，且NA⊥x軸于點A．把線段OA分成n等份，以每一段為邊作矩形，使與x軸平行的邊一個端點在曲線C上，另一端點在曲線C的下方，設這n個矩形的面積之和為S_n，則

lim

n→∞

[(2n-3)(

n	4

-1)Sn]=

12

．

Answer 1

分析：根據題意可知從原點出發，矩形的高成等比數列，首項為1，公比為2 

2

n

，進而根據矩形面積公式，通過等比數列的求和公式求得S_n，最后利用數列極限得出答案．

解答：解：依題意可知從原點出發，矩形的高成等比數列，首項為1，公差為 2 

2

n

，則
S_n=

2

n

[1+2 

2

n

+2

4

n

+…+2

2n-2

n

]=

2

n

×

1-2 2n n

1-2 2 n

=

2

n

×

-3

1- n 4

．
∴

lim

n→∞

[(2n-3)(

n	4

-1)Sn]=

lim

n→∞

[(2n-3)(

n	4

-1)

2

n

×

-3

1- n 4

]=12
故答案為12．．

點評：本題主要考查了等差數列的求和、考查定積分在求面積中的應用等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．