Question

（12分）已知函數.

(Ⅰ)若，求曲線在處切線的斜率；

(Ⅱ)求的單調區間；

（Ⅲ）設，若對任意，均存在，使得 ，求的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

 (Ⅰ)曲線在處切線的斜率為. 

(Ⅱ)函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為. （Ⅲ）.       

【解析】本試題主要是考查了導數在研究函數中的運用。

（1）利用導數的幾何意義求解切線方程關鍵是切點坐標和該點的導數值。

（2）求解定義域和導數，利用導數的正負與函數單調性的關系得到結論。

（3）由已知，轉化為.

由(Ⅱ)知，當a0時，f(x)在x>0上單調遞增，值域為R，故不符合題意. 

當a<0時，f(x)在上單調遞增，在上單調遞減，

故f(x)的極大值即為最大值，進而得到。

解(Ⅰ)由已知，

.

曲線在處切線的斜率為. 

(Ⅱ).   

①當時，由于，故，

所以，的單調遞增區間為. 

②當時，由，得.

 

在區間上，，在區間上，

所以，函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為.

     

（Ⅲ）由已知，轉化為.                    

                                              

由(Ⅱ)知，當時，在上單調遞增，值域為，故不符合題意.

(或者舉出反例：存在，故不符合題意.)     

當時，在上單調遞增，在上單調遞減，

故的極大值即為最大值，，  

所以，

解得.