Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M為DD₁中點(diǎn)．
（1）求AA₁和BD₁所成的角的余弦值．；
（2）求證：BD₁∥平面ACM．

Answer 1

分析：（1）設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，由正方體的性質(zhì)可得∠D₁BB₁ 即為AA₁和BD₁所成的角，Rt△D₁BB₁中，根據(jù)cos∠D₁BB₁=

BB1

BD1

，
運(yùn)算求得結(jié)果．
（2）設(shè)AC和 BD交與點(diǎn)O，又M為DD₁中點(diǎn)，則由正方體的性質(zhì)可得 OM 是三角形DBD₁ 的中位線(xiàn)，則有OM∥BD₁，由此證得
BD₁∥平面ACM．

解答：解：（1）設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則∠D₁BB₁ 即為AA₁和BD₁所成的角．
Rt△D₁BB₁中，cos∠D₁BB₁=

BB1

BD1

=

1

3

=

3

3

，即AA₁和BD₁所成的角的余弦值為

3

3

．
（2）證明：設(shè)AC和 BD交與點(diǎn)O，又M為DD₁中點(diǎn)，則由正方體的性質(zhì)可得 OM 是三角形DBD₁ 的中位線(xiàn)，
∴OM∥BD₁ ．而 OM?平面ACM，BD₁ 不在平面ACM內(nèi)，故 BD₁∥平面ACM．

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線(xiàn)所成的角的定義和求法，直線(xiàn)和平面平行的判定方法，利用正方體的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．