Question

已知橢圓C與橢圓C₁：有相同的焦點，且橢圓過點，右焦點為F，
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線與橢圓C交于M、N兩點，求△FMN的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）依題意，可求橢圓C的焦點坐標（±2，0），方程為+=1，將點（2，）的坐標代入橢圓C的方程可求得a²，從而可得答案；
（2）由橢圓C的方程與直線y=x聯立，利用弦長公式可求得|MN|，由點到直線間的距離公式可求得點F到直線y=x的距離d，從而可求△FMN的面積．
解答：解：（1）∵橢圓C₁：+=1的焦點坐標為（±2，0），
∴依題意設橢圓C的方程為+=1，將點（2，）的坐標代入橢圓C的方程，
得+=1，解得a²=16或a²=3（舍），
∴橢圓C的方程為：+=1．
（2）由消去y得：x²=12，
∴x=±2，y=±．
不妨取M（2，），N（-2，-），
∴|MN|====2．
又右焦點F（2，0）到直線y=x即x-2y=0的距離d==，
∴S_△FMN=|MN|•d=×2×=2．
點評：本題考查直線與圓錐曲線的關系，著重考查方程思想與韋達定理與弦長公式、三角形面積公式的綜合應用，屬于難題．