Question

已知橢圓E:+=1(a＞b＞0),其左、右焦點為F₁(-c,0)、F₂(c,0)(c＞0).

(1)若F₂(2,0)關于直線y=x+的對稱點在橢圓E上,求該橢圓E的方程;

(2)若橢圓E的內接平行四邊形的一組對邊分別經過它的兩個焦點(如圖),求這個平行四邊形面積的最大值.

Answer 1

解：(1)設F₂(2,0)關于y=x+對稱的點為(x₀,y₀),則

解得x₀=-2,y₀=.

所以將x₀=-2,y₀=

代入橢圓方程得+=1且a²-b²=4.

解得a²=9或a²=(舍去).所以橢圓的方程為=1.

(2)設AB:x=my+c,CD:x=my-c.

消去x,得(b²m²+a²)y²+2b²mcy-b⁴=0.

y₁+y₂=-,y₁y₂=-,

|AB|=2ab²,d=,

=4ab²c.

當≥1時, ≤4ab²c·=2ab;

當0＜＜1時, ≤4ab²c=.