Question

已知實數a，b，c滿足a＞b＞c，且a+b+c=0．若x₁，x₂為方程ax²+bx+c=0的兩個實數根，則|

x

2 1

-

x

2 2

|的取值范圍為

[0.3）

．

Answer 1

分析：根據a+b+c=0可得方程ax²+bx+c=0必然有一個實數根為1，且 a＞0，c＜0，b的符號不確定，求出|

b

a

|的范圍，而|x₁²-x₂²|=|（x₁+x₂）•（x₁-x₂）|=|

b

a

|•|x₁-x₂|=|

b

a

|•|1-x₂ |，從而可求出|

x

2 1

-

x

2 2

|的取值范圍．

解答：解：由于 a＞b＞c，a+b+c=0，x₁，x₂是方程ax²+bx+c=0的兩實數根，
可得方程ax²+bx+c=0必然有一個實數根為1，且 a＞0，c＜0，b的符號不確定．
故有 a+2b＞0，1＞

b

a

＞-

1

2

，0≤|

b

a

|＜1．
不妨設 x₁ =1，由根與系數的關系可得 1+x₂=-

b

a

，x₂=

c

a

＜0，且對稱軸為 x=-

b

2a

∈（-

1

2

，

1

4

）．
由|x₁²-x₂²|=|（x₁+x₂）•（x₁-x₂）|=|

b

a

|•|x₁-x₂|=|

b

a

|•|1-x₂ |可得，
當|

b

a

|=0時，|x₁²-x₂²|=|

b

a

|•|1-x₂ |的最小值等于0．
再由|1-x₂ |=2|1-（-

b

2a

）|=2|（1+

b

2a

）|≤2+|

b

a

|＜2+1=3，
故|

b

a

|•|1-x₂ |＜1×3=3．
故|x₁²-x₂²|的取值范圍為[0，3），
故答案為：[0，3）．

點評：本題主要考查了一元二次方程根的分布與系數的關系，體現了轉化的數學思想，同時考查了計算能力，屬于基礎題．