Question

已知等比數列{a_n}的公比不為1，其前n項和為S_n，若向量向量

i

=（a₁，a₂），

j

=（a₁，a₃），

k

=（-1，1），滿足（4

i

-

j

）•

k

=0，則

S5

a1

=

 

．

Answer 1

分析：根據所給的向量的坐標，寫出向量的坐標，根據兩個向量的數量積為零，得到關于數列的前三項之間的關系，約去首項得到關于公比的一元二次方程，把要求的比值代入前n項和，約分代入結果．

解答：解：∵向量

i

=（a₁，a₂），

j

=（a₁，a₃），

k

=（-1，1），
∴（4

i

-

j

）=（3a₁，4a₂-a₃），
∴（4

i

-

j

）•

k

=-3a₁+4a₂-a₃=0
∴3a₁+a₃=4a₂，
∴3+q²=4q，
∴q²-4q+3=0，
∵等比數列{a_n}的公比不為1，
∴q=3，
∴

S5

a1

=

1-q5

1-q

=

1-243

1-3

=121，
故答案為：121．

點評：本題考查向量的數量積和等比數列的基本量之間的關系，若已知等比數列的三項之間的關系，則等比數列的所有量都可以求出，只要簡單數字運算時不出錯，問題可解．