Question

求經過直線3x＋2y＋6=0和2x＋5y－7=0的交點，且在兩坐標軸上的截距相等的直線方程.

Answer 1

解法一:由方程組得

∴兩已知直線的交點為(－4，3).

當所求直線在兩坐標軸上的截距都是0時，直線的橫截距、縱截距相等.

∴所求直線的方程為y=－x，即3x＋4y=0.

當所求直線不過原點時，

設所求直線方程為x＋y=a.

∵點(－4，3)在直線x＋y=a上，

∴－4＋3=a，a=－1.

故所求直線方程為x＋y＋1=0.

綜上所述，所求直線方程為

3x＋4y=0或x＋y＋1=0.

解法二:∵所求直線經過直線3x＋2y＋6=0和直線2x＋5y－7=0的交點，所以可設所求直線的方程為3x＋2y＋6＋λ(2x＋5y－7)=0.(*)

在(*)式中，令x=0得y=,

令y=0得x=.

由題意,得=，

∴λ=或λ=.

把λ=和λ=分別代入(*)式整理,即得3x＋4y=0和x＋y＋1=0.

點評:解法一設直線的截距式時注意了截距為0的情形,故而沒有直接設成＋=1的形式;解法二中用到了過兩直線A₁x＋B₁y＋C₁=0與A₂x＋B₂y＋C₂=0的交點的直線系方程：    A₁x＋B₁y＋C₁＋λ(A₂x＋B₂y＋C₂)=0.