Question

若雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）上不存在點P使得右焦點F關于直線OP（O為雙曲線的中心）的對稱點在y軸上，則該雙曲線離心率的取值范圍為

（1，

2

]

．

Answer 1

分析：這里給出否定形式，直接思考比較困難，按照正難則反，考慮存在點P使得右焦點F關于直線OP（O為雙曲線的中心）的對稱點在y軸上，因此只要在這個雙曲線上存在點P使得OP斜率為1即可．

解答：解：按照正難則反，考慮存在點P使得右焦點F關于直線OP（O為雙曲線的中心）的對稱點在y軸上，因此只要在這個雙曲線上存在點P使得OP斜率為1即可，所以只要漸近線y=

b

a

x的斜率大于1，
所以

b

a

＞1，所以離心率e＞

2

，
∴其在大于1的補集為（1，

2

]，
故答案為：（1，

2

]

點評：該題通過否定形式考查反證法的思想，又考查數形結合、雙曲線的方程及其幾何性質，是中檔題