Question

已知等比數列{a_n}的首項為a₁（a₁＞0），公比為q（0＜q＜1），且

5

i=1

ai=

121

81

，

5

i=1

1

ai

=121．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若從數列{a_n}中依次抽取的一個無窮等比數列，滿足其所有項的和落在區間[

1

12

，

5

24

]內，試求出所有這樣的等比數列．

Answer 1

分析：（1）先求得a3=

1

9

，進而可得方程a3(q2+q-2)+a3+a3(q+q-1)=

121

81

，由此求出公比，從而可求數列{a_n}的通項公式；
（2）設無窮等比子列的首項為(

1

3

)m，公比為(

1

3

)k，且m、k∈N^*，則其所有項和

( 1 3 )m

1-( 1 3 )k

∈[

1

12

，

5

24

]，從而可得結論．

解答：解：（1）因為

5

i=1

ai=

121

81

，

5

i=1

1

ai

=121，所以a3=

1

9

，
∴a3(q2+q-2)+a3+a3(q+q-1)=

121

81

，解得q+q-1=

10

3

，
又0＜q＜1，所以q=

1

3

，此時，an=(

1

3

)n-1；
（2）設無窮等比子列的首項為(

1

3

)m，公比為(

1

3

)k，且m、k∈N^*，則其所有項和

( 1 3 )m

1-( 1 3 )k

∈[

1

12

，

5

24

]，
即

1

12

[1-(

1

3

)k]≤(

1

3

)m≤

5

24

[1-(

1

3

)k]，故

1

18

≤(

1

3

)m≤

5

24

，所以m=2，
此時-

1

3

≤(

1

3

)k≤

7

15

，所以k∈N^*，
所有滿足題意的等比子列是以

1

9

為首項，(

1

3

)k（k∈N^*）為公比的等比數列．

點評：本題主要考查等比數列的通項公式與求和公式等基礎知識，考查靈活運用基本量、有限與無限的數學思想進行運算求解、探索分析的綜合能力．