Question

設f（x）是定義在R上恒不為零的函數，對任意x，y∈R，都有f（x）•f（y）=f（x+y），若a₁=

1

2

，a_n=f（n），則數列{a_n}的前n項和S_n的取值范圍是（　　）

• A．

  1

  2

  ≤S_n＜2
• B．

  1

  2

  ≤S_n≤2
• C．

  1

  2

  ≤S_n≤1
• D．

  1

  2

  ≤S_n＜1

Answer 1

分析：根據f（x）•f（y）=f（x+y），令x=n，y=1，可得數列{a_n}是以

1

2

為首項，以

1

2

的等比數列，進而可以求得S_n，進而S_n的取值范圍．

解答：解：∵對任意x，y∈R，都有f（x）•f（y）=f（x+y），
∴令x=n，y=1，得f（n）•f（1）=f（n+1），
即

an+1

an

=

f(n+1)

f(n)

=f（1）=

1

2

，
∴數列{a_n}是以

1

2

為首項，以

1

2

的等比數列，
∴a_n=f（n）=（

1

2

）ⁿ，
∴S_n=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=1-（

1

2

）ⁿ∈[

1

2

，1）．
故選D．

點評：本題主要考查了等比數列的求和問題，解題的關鍵是根據對任意x，y∈R，都有f（x）•f（y）=f（x+y）得到數列{a_n}是等比數列，屬中檔題．