Question

設f（x）是定義在R上的奇函數，當x≤0時，f（x）=x² 若對任意的x∈[t，t+2]不等式f（x）≤4f（x+t）恒成立，則實數t的最大值是

-

2

3

．

Answer 1

分析：由已知表達式及奇函數的性質求出函數f（x）在R上的解析式，易判斷其單調性，再把不等式f（x）≤4f（x+t）進行等價變形，轉化為兩個自變量的值間的不等關系，進而可轉化為函數的最值問題解決．

解答：解：當x≤0時，f（x）=x²，
∵函數f（x）是奇函數，
∴當x＞0時，f（x）=-x²，
∴f（x）=

x2，x≤0 -x2，x＞0

，
∴f（x）在R上是單調遞減函數，
且滿足4f（x+t）=f[2（x+t）]，
∵不等式f（x）≤4f（x+t）=f[2（x+t）]在x∈[t，t+2]上恒成立，
∴x≥2（x+t）在x∈[t，t+2]上恒成立，即x≤-2t在x∈[t，t+2]上恒成立，
∴t+2≤-2t，解得t≤-

2

3

．
∴t的最大值為-

2

3

．
故答案為：-

2

3

．

點評：本題考查了函數恒成立問題及函數的奇偶性，考查學生靈活運用所學知識分析問題解決問題的能力．