Question

已知f（x）=x²+x．，數(shù)列{a_n}的首項a₁＞0，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）．
（1）比較a_n+1與a_n的大小
（2）判斷并證明數(shù)列{a_n}是否能構(gòu)成等比數(shù)列？
（3）若a1=

1

2

，求證：1＜

1

1+a1

＜

1

1+a2

＜…＜

1

1+an

＜2（n≥2，n∈N^*）．

Answer 1

分析：（1）由a_n+1=a_n²+a_n⇒a_n+1-a_n=a_n²≥0，a₂=a₁²+a₁＞0，依次遞推，得a₃＞0，a₄＞0，…，a_n＞0．由此能夠比較a_n+1與a_n的大小．
（2）若{a_n}為等比數(shù)列，設(shè)公比為q，則

an+1

an

=an+1=q⇒an=q-1為常數(shù)，由此能夠證明{a_n}不能為等比數(shù)列．
（3）由

1

an+1

=

1

an2+an

=

1

an(an+1)

=

1

an

-

1

an+1

，知

1

an+1

=

1

an

-

1

an+1

，所以

1

a1+1

+

1

a2+1

+…+

1

an+1

=

1

a1

-

1

an+1

=2-

1

an+1

．由此能夠證明1＜

1

1+a1

＜

1

1+a2

＜…＜

1

1+an

＜2（n≥2，n∈N^*）．

解答：解：（1）由a_n+1=a_n²+a_n⇒a_n+1-a_n=a_n²≥0，
a₂=a₁²+a₁＞0，
依次遞推
得，a₃＞0，a₄＞0，…，a_n＞0．
所以?n∈N*，a_n+1＞a_n．
（2）若{a_n}為等比數(shù)列，設(shè)公比為q，
則

an+1

an

=an+1=q⇒an=q-1為常數(shù)，
所以q=1，即a_n=0．
所以{a_n}不能為等比數(shù)列．
（3）因為

1

an+1

=

1

an2+an

=

1

an(an+1)

=

1

an

-

1

an+1

，
所以

1

an+1

=

1

an

-

1

an+1

，

1

a1+1

+

1

a2+1

+…+

1

an+1

=

1

a1

-

1

an+1

=2-

1

an+1

因為a2=

3

4

，a3=

21

16

＞1，
所以a_n+1≥a₃＞1（n≥2），
0＜

1

an+1

＜1，
即1＜

1

1+a1

＜

1

1+a2

＜…＜

1

1+an

＜2（n≥2，n∈N^*）．

點評：本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合運用，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進行等價轉(zhuǎn)化．