Question

現(xiàn)有兩個命題：
（1）若lgx+lgy=lg（x+y），且不等式y(tǒng)＞-2x+t恒成立，則t的取值范圍是集合P；
（2）若函數(shù)f(x)=

x

x-1

，x∈（1，+∞）的圖象與函數(shù)g（x）=-2x+t的圖象沒有交點(diǎn)，則t的取值范圍是集合Q；
則以下集合關(guān)系正確的是（　　）

• A、P?Q
• B、Q?P
• C、P=Q
• D、P∩Q=∅

Answer 1

分析：由不等式y(tǒng)＞-2x+t恒成立，即y+2x＞t恒成立，轉(zhuǎn)化為求y+2x的最小值即可；要使函數(shù)f(x)=

x

x-1

，x∈（1，+∞）的圖象與函數(shù)g（x）=-2x+t的圖象沒有交點(diǎn)，先考慮有交點(diǎn)時t的取值范圍，再考慮其補(bǔ)集．

解答：解：由lgx+lgy=lg（x+y），得xy=x+y，兩邊同除以xy得

1

x

+

1

y

=1，∴2x+y=（2x+y）(

1

x

+

1

y

)═3+

y

x

+

2x

y

≥3+2

2

，所以t＜3+2

2

；
又f(x)=

x

x-1

=1+

1

x-1

，g（x）=-2x+t
由f（x）=g（x），得

x

x-1

+2x=t-1，即

x

x-1

+2(x-1)=t-3≥2

2

，
∴函數(shù)f(x)=

x

x-1

，x∈（1，+∞）的圖象與函數(shù)g（x）=-2x+t的圖象沒有交點(diǎn)時t的取值范圍時t＜3+2

2

故選C．

點(diǎn)評：本題主要考查恒成立問題．利用基本不等式求最值，考查等價轉(zhuǎn)化能力．