Question

已知．

（1）若存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若,求證：當(dāng)時(shí)，恒成立；

（3）利用（2）的結(jié)論證明：若，則.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）證明過程詳見試題解析；（3）證明過程詳見試題解析.

【解析】

試題分析：（1）當(dāng)時(shí)， ∴. ∵ 有單調(diào)減區(qū)間，∴有解.分兩種情況討論有解.可得到的取值范圍是；（2）此問就是要證明函數(shù)在上的最大值小于或等于，經(jīng)過求導(dǎo)討論單調(diào)性得出當(dāng)時(shí)，有最大值，命題得證；（3）利用（2）的結(jié)論，將此問的不等關(guān)系，轉(zhuǎn)化成與（2）對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行證明.

試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，

∴.

∵ 有單調(diào)減區(qū)間，∴有解，即

∵ ，∴ 有解.

（ⅰ）當(dāng)時(shí)符合題意；

（ⅱ）當(dāng)時(shí)，△，即。

∴的取值范圍是.

（2）證明：當(dāng)時(shí)，設(shè)，

∴ .

∵，

討論的正負(fù)得下表：

∴當(dāng)時(shí)有最大值0.

即恒成立.

∴當(dāng)時(shí)，恒成立.

（3）證明：∵，

∴

由（2）有

∴.

考點(diǎn)：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)；不等式綜合.