Question

已知：函數f（x）=（mx+n）lnx的圖象過點A（e，e）且在A處的切線斜率為2，g(x)=

1

3

x3+

1

2

ax2+6x+2
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）對任意的x∈（0，+∞）f（x）≤g′（x）恒成立，求實數a的取值范圍；
（Ⅲ）求函數f（x）在[t，2t]上的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由函數f（x）的圖象過點A及在A處的切線斜率為2，列方程組即可解得；
（Ⅱ）f（x）≤g′（x），分離出參數a后構造函數，轉化為函數最值問題解決；
（III）求導函數，確定函數的單調性，進而可求函數f（x）=xlnx在區間[t，2t]（t＞0）上的最小值．

解答：解：（Ⅰ）由函數f（x）的圖象過點A（e，e），所以em+n=e，①
f′（x）=mlnx+m+

n

x

，所以2m+

n

e

=2，②
聯立①②解得m=1，n=0，
所以f（x）=xlnx．
（Ⅱ）由題意知，g′（x）=x²+ax+6，
f（x）≤g′（x），即xlnx≤x²+ax+6，
故a≥lnx-x-

6

x

對任意x∈（0，+∞）成立，
令h（x）=lnx-x-

6

x

（x＞0），
則h′（x）=

1

x

-1+

6

x2

=

-x2+x+6

x2

=-

x2-x-6

x2

=-

(x+2)(x-3)

x2

．
令h′（x）=0，因為x＞0，則x=3，
當0＜x＜3時，h′（x）＞0，當x＞3時，h′（x）＜0，
∴x=3時h（x）取最大值，h（x）_max=ln3-5．
故a≥ln3-5．所以實數a的取值范圍為[ln3-5，+∞）．
（III）函數的定義域為（0，+∞）
求導函數，可得f'（x）=lnx+1，…（1分）
當x∈（0，

1

e

），f′（x）＜0，f（x）單調遞減，
當x∈（

1

e

，+∞），f′（x）＞0，f（x）單調遞增，
①當t＜

1

e

＜2t時，即

1

2e

＜t＜

1

e

時，f（x）min=f（

1

e

）=-

1

e

； 
②當t≥

1

e

時，f（x）在[t，2t]上單調遞增，f（x）_min=f（t）=tlnt；
③當2t≤

1

e

時，0＜t≤

1

2e

時，f（x）在[t，2t]上單調遞減，f（x）_min=f（2t）=2tln2t；          
所以f（x）_min=

tlnt，t≥ 1 e - 1 e ， 1 2e ＜t＜ 1 e 2tln2t，t≤ 1 2e

．

點評：本題考查導數的幾何意義、應用導數求函數的最值問題，屬中檔題．恒成立問題往往轉化為函數的最值問題處理．