Question

數列{a_n}中，a₁=3，S_n為其前n項的和，滿足S_n=S_n-1+a_n-1+2^n-1（n≥2），令bn=

1

anan+1

（1）寫出數列{a_n}的前四項，并求數列{a_n}的通項公式
（2）若f（x）=2^x-1，求和：b₁f（1）+b₂f•（2）+…+b_nf（n）
（3）設cn=

n

an

，求證：數列{c_n}的前n項和Q_n＜2．

Answer 1

分析：（1）數列的前四項：a₁=3，a₂=5，a₃=9，a₄=17，S_n=S_n-1+a_n-1+2^n-1（n≥2）?a_n=a_n-1+2^n-1（n≥2），由此能求出a_n．
（2）由bnf(n)=

2n-1

(2n+1)(2n+1+1)

=

1

2

(

1

2n+1

-

1

2n+1+1

)，入手，能求出b₁f（1）+b₂f•（2）+…+b_nf（n）
的值．
（3）由cn=

n

2n-1

＜

n

2n

，得Qn=

1

2+1

+

1

22+1

+…+

1

2n+1

＜

1

2

+

2

22

+…+

n

2n

，令Tn=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

，則

1

2

Tn=

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n

2n+1

，再由錯位相減法進行求解．

解答：解：（1）數列的前四項：a₁=3，a₂=5，a₃=9，a₄=17（2分）
S_n=S_n-1+a_n-1+2^n-1（n≥2）?a_n=a_n-1+2^n-1（n≥2）（3分）
當n≥2時，a_n=（a_n-a_n-1）+•+（a₂-a₁）+a₁=2^n-1••+2^n-2++2²+2•+3=2ⁿ+1
經驗證a1也符合，所以a_n=2ⁿ．+1（5分）
（2）bnf(n)=

2n-1

(2n+1)(2n+1+1)

=

1

2

(

1

2n+1

-

1

2n+1+1

)，（7分）
∴b₁f（1）+b₂f（•2）+…+b_nf（n）=

1

2

(

1

2+1

-

1

22+1

)+

1

2

(

1

22+1

-

1

23+1

)+

1

2

(

1

23+1

-

1

24+1

)+…+

1

2

(

1

2n+1

-

1

2n+1+1

)=

1

2

(

1

2+1

-

1

2n+1+1

)=

1

6

-

1

2n+2+2

（9分）
（3）由cn=

n

2n-1

＜

n

2n

得Qn=

1

2+1

+

1

22+1

+…+

1

2n+1

＜

1

2

+

2

22

+…+

n

2n

（11分）
令Tn=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

則

1

2

Tn=

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n

2n+1

，
相減，得

1

2

Tn=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=

1 2 ×(1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

所以Tn=2-

n+2

2n

所以Qn＜

1

2

+

2

23

+…+

n

2n

=2-

n+2

2n

＜2（14分）

點評：本題考查數列知識的綜合運用，解題時要認真審題，仔細解答．