Question

已知數列{a_n}滿足：a₁=，且a_n=（n≥2，n∈N*）。
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）證明：對于一切正整數n，不等式a₁·a₂·…a_n＜2·n！

Answer 1

解：（1）將條件變為：
因此一個等比數列，其首項為，公比
從而
據此得 ①；
（2）據①得
為證a₁·a₂·…a_n＜2·n！
只要證n∈N*時有 ②
顯然，左端每個因式都是正數，先證明，對每個n∈N*，有  ③
用數學歸納法證明③式：
（i）n=1時，③式顯然成立，
（ii）設n=k時，③式成立
即
則當n=k+1時，


即當n=k+1時，③式也成立
故對一切n∈N*，③式都成立。
利用③得

故②式成立，從而結論成立。