Question

設正數數列{a_n}的前n項和為S_n，且，（n∈N^*）．
（Ⅰ）試求a₁，a₂，a₃；
（Ⅱ）猜想a_n的通項公式，并用數學歸納法證明．

Answer 1

解：（I）∵
∴n=1時，，∴a₁=±1，∵a₁＞0，∴a₁=1
n=2時，，∴，∵a₂＞0，∴
n=3時，，∴，∵a₃＞0，∴，
（II）猜想
下用數學歸納法證明：
①n=1時，a₁=1，滿足；
②假設當n=k（k≥1）時，結論成立，即，則當n=k+1時，有
∴
解方程得，即當n=k+1時，結論也成立
由①②可知，猜想成立
分析：（I）由，n分別取1，2，3，代入計算，即可求得結論；
（II）猜想，用數學歸納法證明的關鍵是n=k+1時，變形利用歸納假設．
點評：本題考查數列遞推式，考查數列的通項，考查數學歸納法的運用，掌握數學歸納法的證題步驟是關鍵．