Question

將數列中的所有項按每一行比上一行多一項的規則排成如下數表：

記表中的第一列數a₁，a₂,，a₄，a₇，…構成的數列為，b₁=a₁=1．為數列的

前n項和, 且滿足.

（I）證明數列成等差數列, 并求數列的通項公式；

（II）上表中，若從第三行起，每一行中的數按從左到右的順序均構成等比數列，且公比為同個正數，當時，求上表中第行所有項的和。

Answer 1

(Ⅰ)證明：由已知，當時，

所以數列是首項為1，公差為的等差數列.

由上可知    .

即  

所以     當

因此

(Ⅱ)解：設上表中從第三行起，每行的公比都為q，且q>0.

因為   1+2+…+12＝＝78，

所以表中第1行至第12行共含有數列{a_n}的前78項，

故    a₈₁在表中第13行第三列，

因此     a₈₁=b₁₃?q²=

又     

所以    q=2.

記表中第≥3)行所有項的和為S，

則

.