Question

如圖四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為直角梯形，∠ADC為直角，AD∥BC，AB⊥AC，AB＝AC＝2，G為△PAC的重心，E為PB的中點，F在線段BC上，且CF＝2FB

(1)求證：FG∥平面PAB；

(2)求證：FG⊥AC；

(3)當二面角P－CD－A多大時，FG⊥平面AEC．

Answer 1

答案：
解析：

⑴證明：連接CG并延長交PA于H，連接BH 　　∵G為△PAC的重心，∴M為PA的中點且 　　CG∶GH＝2∶1，又CF∶FB＝2∶1， 　　∴CG∶GH＝CF：FB＝2∶1，∴FG∥BH， 　　易得FG∥平面PAB－－4分 　　⑵∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC， 　　∵AB⊥AC，∴AC⊥平面PAB， 　　BH平面PAB，∴AC⊥BH， 　　∴FG⊥AC－－7分 　　⑶∵PA⊥平面ABCD，∴CD⊥AD， 　　∴PD⊥CD 　　∴∠PDA為二面角P－CD－A的平面角． 　　若FG⊥平面AEC，則BH⊥平面AEC， 　　∴BH⊥AE－－9分 　　設BH交AE于O，PA＝a，∵AB＝2，PA⊥AB，∴ 　　∵E、H分別是PB、PA的中點，∴O為△PAB的重心．－－11分 　　∴ 　　∵AO2＋BO2＝AB2，∴∴．－－13分 　　∵AB＝AC＝2，AB⊥AC，∴∠CAD＝∠ACB＝450，∴， 　　∴， 　　∴二面角P－CD－A的大小為arctan2時，FG⊥平面AEC－－14分