Question

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁，側面ACC₁A₁與底面ABC垂直，∠ABC=90°，BC=2，AC=2，且AA₁⊥A₁C，AA₁=A₁C。
（1）試判斷A₁A與平面A₁BC是否垂直，并說明理由；
（2）求側面BB₁C₁C與底面ABC所成銳二面角的余弦值。

Answer 1

解：如圖建立空間直角坐標系， （1）有條件知B（0，0，0），C（0，2，0），A（2，0，0）， 由面ACC1A1⊥面ABC，AA1⊥A1C，AA1=A1C，知， ∵ ∴與不垂直，即AA1與BC不垂直， ∴AA1與平面A1BC不垂直； （2）由ACC1A1為平行四邊形， 知， 設平面BB1C1C的法向量， 由得，即， 令，則y1=0，z1=，得， 另外，平面ABC的法向量=（0，0，1） 所以側面BB1C1C與底面ABC所成銳二面角的余弦值為。