Question

已知函數f（x）=ln（x²+1）-（ax-2）．
（1）若|a|≤1，求f（x）的單調區間；
（2）令g(x)=

1

2

x2-ax+a+

3

2

，是否存在實數a使得f（x）的圖象與g（x）的圖象恰有四個不同的交點，若存在，求a的取值范圍；否則，說明理由．

Answer 1

分析：（1）求導函數，對a進行分類討論：①當a=0時，f'（x）＞0時x＞0，f'（x）＜0時x＜0；②當a≠0且|a|≤1時，考慮a=1，a=-1，-1＜a＜0，0＜a＜1利用導數的正負，可得函數的單調區間；
（2）f（x）的圖象與g（x）的圖象恰有四個不同的交點，則f（x）=g（x）有四個根，即a=ln（x²+1）-

1

2

x2+

1

2

，構造新函數，確定函數的極值，即可求得a的取值范圍．

解答：解：（1）求導函數可得f'（x）=

-ax2+2x-a

x2+1

①當a=0時，f'（x）＞0時x＞0，即函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增，f'（x）＜0時x＜0，即函數f（x）在（-∞，0）上單調遞減；
②當a≠0且|a|≤1時，由f'（x）=0，得ax²-2x+a=0，∴x1=

1- 1-a2

a

，x2=

1+ 1-a2

a

1°a=1時，f'（x）≤0，∴函數f（x）在R上單調遞減；
2°a=-1時，f'（x）≥0，∴函數f（x）在R上單調遞增；
3°當-1＜a＜0時，由f'（x）＞0可得x＜x₁或x＞x₂，即函數f（x）在（-∞，

1- 1-a2

a

）、（

1+ 1-a2

a

，+∞）上單調遞增，在（

1- 1-a2

a

，

1+ 1-a2

a

）上單調遞減；
4°當0＜a＜1時，由f'（x）＞0可得x₁＜x＜x₂，即函數f（x）在（

1- 1-a2

a

，

1+ 1-a2

a

）上單調遞增，在（-∞，

1- 1-a2

a

）、（

1+ 1-a2

a

，+∞）上單調遞減；　　　　　　　　　　　　　
（2）f（x）的圖象與g（x）的圖象恰有四個不同的交點，則f（x）=g（x）有四個根，即a=ln（x²+1）-

1

2

x2+

1

2

令G（x）=ln（x²+1）-

1

2

x2+

1

2

，則 G′（x）=

-x(x+1)(x-1)

x2+1

x	（-∞，-1）	-1	（-1，0）	0	（0，1）	1	（1，+∞）
G′（x）	+	0	-	0	+
G（x）		ln2		1 2		ln2

∴x=0時，函數取得極小值

1

2

，x=±1時，函數確定極大值 ln2
∴a∈（

1

2

，ln2）．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查分類討論的數學思想，考查函數圖象的交點，考查函數的極值，綜合性強．