Question

口袋內有n（n＞3）個大小相同的球，其中有3個紅球和n-3個白球，已知從口袋中隨機取出一個球是紅球的概率是p，且6p∈N．若有放回地從口袋中連續地取四次球（每次只取一個球），在四次取球中恰好取到兩次紅球的概率大于

8

27

（Ⅰ）求p和n；
（Ⅱ）不放回地從口袋中取球（每次只取一個球），取到白球時即停止取球，記ξ為第一次取到白球時的取球次數，求ξ的分布列和期望Eξ．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用二項分布的概率計算公式即可得出；
（Ⅱ）利用相互獨立事件的概率計算公式、離散型隨機變量的分布列及其數學期望即可得出．

解答：解：（Ⅰ）由題設可知：

C

2 4

p2(1-p)2＞

8

27

，
∵p（1-p）＞0，∴不等式可化為p(1-p)＞

2

9

，
解不等式得

1

3

＜p＜

2

3

，即2＜6p＜4，
又∵6p∈N，∴6p=3，∴p=

1

2

．
∴p=

1

2

，∴

3

n

=

1

2

，解得n=6．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：n=6．
ξ可取1，2，3，4．
∵P（ξ=1）=

C 1 3

C 1 6

=

1

2

，P（ξ=2）=

C 1 3

C 1 6

×

C 1 3

C 1 5

=

3

10

，
P（ξ=3）=

C 1 3

C 1 6

×

C 1 2

C 1 5

×

C 1 3

C 1 4

=

3

20

，P（ξ=4）=

C 1 3

C 1 6

×

C 1 2

C 1 5

×

C 1 1

C 1 4

×

C 1 3

C 1 3

=

1

20

．
∴ξ的分布列為

∴Eξ=1×

1

2

+2×

3

20

+3×

3

20

+4×

1

20

=

7

4

．

點評：熟練掌握二項分布的概率計算公式、相互獨立事件的概率計算方法、離散型隨機變量的分布列及其數學期望是解題的關鍵．