Question

在節能減排、保護地球環境的呼吁下，世界各國都很重視企業廢水廢氣的排放處理．盡管企業對廢水廢氣作了處理，但仍會對環境造成一些危害，所以企業在排出廢水廢氣時要向當地居民支付一定的環境補償費．已知某企業支付的環境補償費P與該企業的廢水排放量x滿足關系式P=kx³（k∈[1，10]），具體k值由當地環保部門確定．而該企業的毛利潤Q滿足關系式，
（1）當k=1時，該企業為達到純利潤（Q-P）最大，廢水排放量會達到多少？
（2）當x＞1時，就會對居民健康構成危害．該地環保部門應在什么范圍內設定k值，才能使該企業在達到最大利潤時，廢水排放量不會對當地居民健康構成危害？

Answer 1

解：設企業純利潤為y，則，y'=-3kx²+x+10
（1）當k=1時，由y'=-3x²+x+10=-（3x+5）（x-2）=0，得
x=2或x=（不合題意，舍去），∴x=2時企業純利潤最大；
（2）設f（x）=-3kx²+x+10，k∈[1，10]∵f（x）圖象開口向下，且f（0）=10＞0，
∴f（x）必有一正一負兩根，且正根為極大值點
∴根據題意得：f（x）=0的正根不超過1，
∴f（1）≤0，即-3k+1+10≤0，∴k≥，綜上，得
分析：設純利潤為y，則y=Q-P是三次函數，對其求導，
（1）當k=1時，令導數y'=0，得根，從而得出企業純利潤最大時x的值；
（2）由函數f（x）=-3kx²+x+10，k∈[1，10]知：圖象開口向下，且f（0）＞0，∴f（x）必有一正一負兩根，且正根為極大值點；由題意，正根不超過1，即f（1）≤0，解得k的范圍．
點評：本題考查了利用導數求三次函數的最值問題和一元二次方程根的分布問題，解題時要認真分析，避免出現錯誤．