Question

已知橢圓=1,過點P（2，1）引一條弦，使它在這點被平分，求此弦所在的直線方程.

Answer 1

解法一：如圖，設弦與橢圓的兩交點坐標為A（x₁,y₁）、B(x₂,y₂).又P(2,1),

∴

①-②得（x₁-x₂)(x₁+x₂)+4(y₁-y₂)(y₁+y₂)=0,

∴=k_AB.

∴l_AB的方程為y-1=-(x-2).

解法二：依題意知，過點P的直線的斜率是存在的.

設過點P(2,1)的直線方程為y-1=k(x-2).

聯立方程組消去y,得

(4k²+1)x²-8k(2k-1)x+4k²-16k-12=0.

設弦與橢圓的兩交點為A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),又中點P(2,1)，由韋達定理，得=2,解得k=-.

因為點P(2,1)在橢圓=1內，所以直線AB必與橢圓相交.

直線AB的方程為y-1=-(x-2),即x+2y-4=0為所求.