Question

如圖：一個圓錐的底面半徑為2，高為6，在其中有一個半徑為x的內接圓柱．
（1）試用x表示圓柱的體積；
（2）當x為何值時，圓柱的側面積最大，最大值是多少．

Answer 1

解：（1）∵圓錐的底面半徑為2，高為6，
∴內接圓柱的底面半徑為x時，它的上底面截圓錐得小圓錐的高為3x
因此，內接圓柱的高 h=6-3x；
∴圓柱的體積V=πx²（6-3x） （0＜x＜2）---------------------------（6分）
（2）由（1）得，圓柱的側面積為
S_側=2πx（6-3x）=6π（2x-x²） （0＜x＜2）
令t=2x-x²，當x=1時t_max=1．可得當x=1時，（ S_側）_max=6π
∴當圓柱的底面半徑為1時，圓柱的側面積最大，側面積有最大值為6π．------------------------------（7分）
分析：（1）根據圓錐的底面半徑為2、高為6，可得內接圓柱的半徑為x時，它的高h=6-3x，由此結合圓柱體積公式即可列出用x表示圓柱的體積的式子；
（2）由（1）可得圓柱的側面積S_側=6π（2x-x²），結合二次函數的單調性與最值，可得當圓柱的底面半徑為1時，圓柱的側面積最大，側面積有最大值為6π．
點評：本題給出特殊圓錐，求它的內接圓錐的側面積的最大值，著重考查了圓柱的體積、側面積公式和旋轉體的內接外切等知識點，屬于基礎題．