Question

【題目】如圖，在四棱錐 中，底面梯形 中， ，平面 平面 ， 是等邊三角形，已知 ， ．

（1）求證：平面 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：在 中，由于 ,
∴ ,故 ．
又 ，
，∴ 平面 ，
又 ，故平面 平面 ．
（2）如圖建立 空間直角坐標(biāo)系，

， ， ， ， ， ， ．
設(shè)平面 的法向量 ,
由
令 , ∴ ．
設(shè)平面 的法向量 ,
由 ，令 ，∴ ．
，∴二面角 的余弦值為
【解析】本題主要考查線面、面面垂直的證明以及利用空間向量求解二面角的大小的問(wèn)題。（1）把證明面面垂直的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，再把線面垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線線垂直問(wèn)題，利用判定定理進(jìn)行證明。（2）建立空間直角坐標(biāo)系，找到坐標(biāo)，利用二面角公式即可求解。
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解平面與平面垂直的判定(一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直)．