Question

設曲線y=xn2+n （n∈N^*）在點（1，1）處的切線與x軸的交點的橫坐標為x_n，則數列{x_n}前10項和等于（　　）

• A．

  100

  11

• B．

  1

  11

• C．

  120

  11

• D．

  101

  10

Answer 1

分析：由y=xn2+n （n∈N^*），知y′=(n2+n)x n2+n^-1，當x=1時，y′=n²+1，故曲線y=xn2+n （n∈N^*）在點（1，1）處的切線為：y-1=（n²+n）（x-1），令y=0，得x_n=

1

n+1

-

1

n

+1，由此能求出數列{x_n}前10項和．

解答：解：∵y=xn2+n （n∈N^*），
∴y′=(n2+n)x n2+n^-1，
∴當x=1時，y′=n²+1，
∴曲線y=xn2+n （n∈N^*）在點（1，1）處的切線為：y-1=（n²+n）（x-1），
令y=0，得x=1-

1

n2+n

=

1

n+1

-

1

n

+1，
∴x_n=

1

n+1

-

1

n

+1，
∴數列{x_n}前10項和：S₁₀=a₁+a₂+a₃+…+a₁₀
=（

1

2

-1+1）+（

1

3

-

1

2

+1）+（

1

4

-

1

3

+1）+…+（

1

11

-

1

10

+1）
=10×1+

1

11

-1=

100

11

．
故選A．

點評：本題考查數列的求和，是中檔題．解題時要認真審題，注意導數性質的靈活運用，合理地運用裂項公式進行求解．