Question

已知函數f（x）=

ax2+1

bx+c

（a，b，c∈Z）是奇函數，又f（1）=2，f（2）＜3且f（x）在[1，+∞）上遞增，
（1）求a，b，c的值；
（2）當x＜0時，討論f（x）的單調性．

Answer 1

分析：（1）根據函數f（x）為奇函數，則f（-x）=-f（x）恒成立，即可求得c的值，再根據又f（1）=2，f（2）＜3，且a，b，c∈Z，即可取得a和b的值，從而得到答案；
（2）根據（1）的結論，得到f（x）的解析式，利用導數的符號可判定函數f（x）在（-∞，0）上的單調性．

解答：解：（1）∵函數f（x）=

ax2+1

bx+c

（a，b，c∈Z）是奇函數，
∴f（-x）=-f（x）恒成立，
∴

ax2+1

-bx+c

=-

ax2+1

bx+c

=

ax2+1

-bx-c

恒成立，
∴c=-c，即c=0，
即f（x）=

ax2+1

bx

，
∵f（1）=2，∴

a+1

b

=2，
∵f（2）＜3，即 

4a+1

2b

＜3，①
∵

a+1

b

=2，則b=

a+1

2

代入①，
∴

4a+1

a+1

＜3，即

a-2

a+1

＜0，
解得-1＜a＜2，
又∵f（x）在[1，+∞）上遞增，
∴f（1）=2＜f（2）即2＜

4a+1

2b

=

4a+1

a+1

，解得a＞

1

2

或a＜-1，
綜上所述

1

2

＜a＜2，
∵a∈Z，
∴a=1，b=

a+1

2

=1，c=0；
（2）由（1）知f（x）=

x2+1

x

=x+

1

x

，（x＜0），
∴f′（x）=1-

1

x2

，
令f′（x）＞0，解得x＜-1，即函數f（x）在（-∞，-1）上單調遞增，
令f′（x）＜0，解得-1＜x＜0，即函數f（x）在（-1，0）上單調遞減，
∴當x＜0時，函數f（x）的單調增區間為（-∞，-1），減區間為（-1，0）．

點評：本題考查了函數奇偶性的應用，函數單調性的判斷與證明．已知函數的奇偶性，則一定滿足函數奇偶性的定義．對于奇函數，如果定義域中能取到0，則利用f（0）=0解題更為方便．函數單調性的判斷與證明，注意一般單調性的證明選用定義法證明，證明的步驟是：設值，作差，化簡，定號，下結論．屬于中檔題．