Question

已知函數(shù)f(x)＝lnx－ax＋1，a∈R是常數(shù)．

(1)求函數(shù)y＝f(x)的圖象在點(diǎn)P(1，f(1))處的切線l的方程；

(2)證明函數(shù)y＝f(x)(x≠)的圖象在(1)中切線l的下方；

(3)討論函數(shù)y＝f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

答案：
解析：

(1)，；1分，所以切線的方程為，即；2分． 　　(2)作，；3分，則 　　，解得；4分． 　　5分 　　所以且，，，即函數(shù)()的圖像在直線的下方；6分． 　　(3)有零點(diǎn)，即有解，；7分 　　，解得；8分， 　　類似(1)列表討論知，即若有零點(diǎn)，則；若，則無零點(diǎn)；9分． 　　若，，由⑴知有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；10分 　　若，單調(diào)遞增，由冪函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較知有且僅有一個(gè)零點(diǎn)(或：直線與曲線有一個(gè)交點(diǎn))；11分 　　若，解得，類似⑴列表討論知，在處取最大值；12分， 　　，由冪函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較知，當(dāng)充分大時(shí)，即在單調(diào)遞減區(qū)間有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；13分； 　　又因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60R0/0296/0021/bbe77203cbb30b2a559c8b72c97caf6f/C/Image98.gif" width=101 height=41>，所以在單調(diào)遞增區(qū)間有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，綜上所述，當(dāng)時(shí)，無零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)；14分．