Question

【題目】已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），其離心率為
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）橢圓上一點(diǎn)P滿(mǎn)足∠F1PF2=60°，其中F1 ， F2為橢圓的左右焦點(diǎn)，求△F1PF2的面積．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 （a＞b＞0），

橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為（0，1）則b=1，

由橢圓的離心率e= = = ，解得：a2=3，

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（2）

解：設(shè)丨PF1丨=n，丨PF2丨=m，∠F1PF2=60°，

由余弦定理可知：丨F1F2丨2=丨PF1丨2+丨PF2丨2﹣2丨PF1丨丨PF1丨cos60°，

4c2=m2+n2﹣2mncos60°=（m+n）2﹣3mn=4a2﹣3mn，

則4×（ ）2=4a2﹣3mn，解得：mn= ，

即丨PF1丨丨PF1丨= ，

△F1PF2的面積S= ×丨PF1丨丨PF1丨×sin∠F1PF2，

∴ ，

△F1PF2的面積

【解析】（1）設(shè)橢圓的方程，則b=1，根據(jù)橢圓的離心率即可求得a的值，即可求得橢圓方程；（2）根據(jù)余弦定理，即可求得丨PF1丨丨PF1丨，利用三角形的面積公式即可求得△F1PF2的面積．