Question

已知函數f(x)=2sin(x+

π

6

)-2cosx，x∈[

π

2

， π]．
（1）若sinx=

4

5

，求函數f（x）的值；
（2）求函數f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）先利用同角三角函數的基本關系求得cosx的值，代入到函數解析式，利用兩角和公式展開后求得答案．
（2）利用兩角和公式對函數解析式化簡整理，然后利用x的范圍和正弦函數的單調性求得函數的值域．

解答：解：（1）∵sinx=

4

5

，x∈[

π

2

， π]
∴cosx=-

1- 16 25

=-

3

5

∴f(x)=2sin(x+

π

6

)-2cosx=

3

sinx+cosx-2cosx=

3

sinx-cosx=

4

5

×

3

+

3

5

=

4 3 +3

5

（2）f(x)=2sin(x+

π

6

)-2cosx=

3

sinx+cosx-2cosx=

3

sinx-cosx=2sin（x-

π

6

）
∵x∈[

π

2

， π]
∴

π

3

≤x-

π

6

≤

5π

6

∴

1

2

≤sin（x-

π

6

）≤1
∴f（x）的最大值為2，最小值為1，值域為[1，2]

點評：本題主要考查了三角函數化簡求值，兩角和公式的化簡，同角三角函數的基本關系的應用．解題時注意角的范圍，判斷三角函數的正負．