Question

如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，平面PBC⊥底面ABCD，且
PB=PC=．
（Ⅰ）求證：AB⊥CP；
（Ⅱ）求點(diǎn)B到平面PAD的距離；
（Ⅲ）設(shè)面PAD與面PBC的交線為l，求二面角A-l-B的大小．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用面面垂直的性質(zhì)證明AB⊥平面PBC，從而可證AB⊥CP；
（Ⅱ）取BC中點(diǎn)O，再取AD中點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥PM，則OH⊥面ADP，利用等面積，即可求點(diǎn)B到平面PAD的距離；
（Ⅲ）證明∠MPO就是二面角A-l-B的平面角，從而可求二面角A-l-B的大小．
解答：（Ⅰ）證明：∵底面ABCD是正方形，∴AB⊥BC，
又平面PBC⊥底面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC
∴AB⊥平面PBC
又PC?平面PBC
∴AB⊥CP  …（3分）
（Ⅱ）解：∵BC∥AD，BC?面PAD，AD?面PAD，
∴BC∥面PAD
取BC中點(diǎn)O，再取AD中點(diǎn)M
∵AD⊥MO，AD⊥MP，MO∩MP=P
∴AD⊥面MOP，
∵AD?面ADP
∴面ADP⊥面MOP
過(guò)點(diǎn)O作OH⊥PM，則OH⊥面ADP
在Rt△MPO中，由OH•PM=PO•MO，可得OH=
∴點(diǎn)B到平面PAD的距離為．  …（7分）
（Ⅲ）解：∵BC∥AD，BC?面PAD，AD?面PAD，
∴BC∥面PAD
∵面PAD∩面PBC=l，BC?面PBC
∴BC∥l
∴OP⊥l，MP⊥l
∴∠MPO就是二面角A-l-B的平面角．
∴tan∠MPO==1
∴∠MPO=45°
∴二面角A-l-B的大小為45°．…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查面面垂直的性質(zhì)，考查線面垂直，考查點(diǎn)到面的距離的計(jì)算，考查面面角，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．