Question

求證：3²ⁿ⁺²-8n-9（n∈N^*）能被64整除．

Answer 1

【答案】分析：本題和正整數有關，可以利用數學歸納法來證明，當n=1時，式子3²ⁿ⁺²-8n-9=3⁴-8-9=64能被64整除，命題成立，再假設當n=k時，3^2k+2-8k-9能夠被64整除，得到當n=k+1時，命題也成立．
解答：解：（1）當n=1時，式子3²ⁿ⁺²-8n-9=3⁴-8-9=64能被64整除，命題成立．…2分
（2）假設當n=k時，3^2k+2-8k-9能夠被64整除．       …4分
當n=k+1時，
3^2k+4-8（k+1）-9
=9[3^2k+2-8k-9]+64k+64
=9[3^2k+2-8k-9]+64（k+1）…8分
因 為3^2k+2-8k-9能夠被64整除，
∴9[3^2k+2-8k-9]+64（k+1）能夠被64整除．                     …10分
即當n=k+1時，命題也成立．
由（1）（2）可知，3²ⁿ⁺²-8n-9（n∈N^*）能被64整除．…12分
點評：本題看出整除的性質，本題解題的關鍵是看出要用利用數學歸納法來證明題目，注意三個環節不要出錯，本題是一個中檔題目．