Question

函數f(x)=sin2x+

3

cos2x的最大值記為M，周期為

π

a

，則函數g（t）=t²（t-a）在區間[0，M]上的最大值為（　　）

• A．1
• B．0
• C．-

  4

  27

• D．4

Answer 1

分析：利用兩角和的正弦公式化簡函數解析式為2sin（2x+

π

3

），由此求得最大值M，根據周期的值求出a的值，利用導數求
出函數g（t）=t²（t-1）在[0，2]上的最大值．

解答：解：∵函數f(x)=sin2x+

3

cos2x=2（

1

2

sin2x+ 

3

2

cos2x）=2sin（2x+

π

3

），
故函數的最大值M=2，周期為

π

a

=

2π

2

，∴a=1．
故函數g（t）=t²（t-a）=t²（t-1），區間[0，M]即[0，2]．
g′（t）=3t²-2t，故當t∈（0，

1

3

）上時，g′（t）＜0，當t∈（

1

3

，2]上時，g′（t）＞0．
故函數在∈（0，

1

3

）上是減函數，在∈（

1

3

，2]上是增函數．
故函數的最大值為g（0）或g（2）．
再由g（0）=0，g（2）=4 可得，函數g（t）=t²（t-a）在區間[0，M]上的最大值為4，
故選D．

點評：本題主要考查兩角和的正弦公式，正弦函數的周期性，利用導數求函數在閉區間上的最大值，屬于中檔題．