Question

已知橢圓（a＞b＞0）的兩個焦點分別為F₁，F₂，離心率為，過F₁的直線l與橢圓C交于M，N兩點，且△MNF₂的周長為8．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過原點O的兩條互相垂直的射線與橢圓C分別交于A，B兩點，證明：點O到直線AB的距離為定值，并求出這個定值．

Answer 1

解：（I）由題意知，4a=8，所以a=2．
因為，
所以，
所以b²=3．
所以橢圓C的方程為．
（II）由題意，當直線AB的斜率不存在，此時可設A（x₀，x₀），B（x₀，-x₀）．
又A，B兩點在橢圓C上，
所以，．
所以點O到直線AB的距離．
當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為y=kx+m．
由消去y得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．
由已知△＞0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
所以，．
因為OA⊥OB，所以x₁x₂+y₁y₂=0．
所以x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=0，即．
所以．
整理得7m²=12（k²+1），滿足△＞0．
所以點O到直線AB的距離為定值．
分析：（Ⅰ）由△MNF₂的周長為8，得4a=8，由，得，從而可求得b；
（Ⅱ）分情況進行討論：由題意，當直線AB的斜率不存在，此時可設A（x₀，x₀），B（x₀，-x₀），再由A、B在橢圓上可求x₀，此時易求點O到直線AB的距離；當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為y=kx+m，代入橢圓方程消掉y得x的二次方程，知△＞0，由OA⊥OB，得x₁x₂+y₁y₂=0，即x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=0，整理后代入韋達定理即可得m，k關系式，由點到直線的距離公式可求得點O到直線AB的距離，綜合兩種情況可得結論，注意檢驗△＞0．
點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系、橢圓方程的求解，考查學生分析解決問題的能力，弦長公式、韋達定理是解決該類問題的常用知識，要熟練掌握．