Question

【題目】如圖所示，我國(guó)某海岸線可看作由圓弧AB和射線BC連接而成，其中圓弧AB所在圓O的半徑為12海里，圓心角為120°，規(guī)定外輪除特許外，不得進(jìn)入離我國(guó)海岸線12海里以內(nèi)的區(qū)域．在港口A處設(shè)有觀察站，外輪一旦進(jìn)入規(guī)定區(qū)域，觀察站會(huì)接收到預(yù)警信號(hào)，現(xiàn)從A處測(cè)得一外輪在北偏東60°，距離港口x海里的P處，沿直線PA方向航行．

（1）當(dāng)x＝30時(shí)，分別求出外輪到海岸線BC和弧AB的最短距離，并判斷觀察站是否接收到預(yù)警信號(hào)？

（2）當(dāng)x為何值時(shí)，觀察站開始接收到預(yù)警信號(hào)？

Answer 1

【答案】（1）最短距離為612，不能接收到預(yù)警信號(hào)；（2）6+6

【解析】

(1)根據(jù)已知條件求出點(diǎn)到射線的距離，和到圓弧的最小值，再與12海里進(jìn)行比較即可得判斷;

(2)由(1)知 到弧的距離比到射線的距離小，所以只要列出點(diǎn)到圓弧的最小值為的關(guān)系式即可求的值.

（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，

當(dāng)時(shí)，由直角三角形中，可得到的距離為，

此時(shí)即，可得P到弧的最短距離為

，可得判斷觀察站不能接收到預(yù)警信號(hào)；

（2）當(dāng)到弧的距離為 ，由于到的距離大于，

設(shè)，可得，且，

可得，即有，

解得（負(fù)的舍去），

當(dāng)為海里時(shí)，觀察站開始接收到預(yù)警信號(hào)．