Question

如圖，在平面直角坐標系中，一條定長為m的線段，其端點A、B分別在x、y軸上滑動，設點M滿足=λ（λ是不等于1的正常數），試問：是否存在兩個定點E、F，使得||，||，||成等差數列？若存在，求出E、F的坐標；若不存在，說明理由.

Answer 1

解:設點M坐標為（x,y）,A(a,0),B(0,b).則a²+b²=m².由=得∴∴(1+λ)²x²+()²y²=m²,即=1.

    由λ＞0且λ≠1知點M的軌跡為橢圓.

    假如存在兩點E、F，使||，||，||成等差數列，則2||=||+||，因m、λ為定值，故2||=是定值，即和||+||為定值，故E、F應為橢圓的焦點，且為長軸長，于是＞,即0＜λ＜1.

    所以，當0＜λ＜1時，存在兩定點E、F，它們分別為橢圓=1的兩焦點（m,0）及（-m,0）;當λ＞1時，＞,M的軌跡是橢圓，半長軸長為,同時由假設半長軸又為，矛盾，故此時不存在定點E、F.