Question

已知函數(shù)f（x）=x²-4ax+2a+6（a∈R）．
（1）若函數(shù)的值域為[0，+∞），求a的值；
（2）若函數(shù)值為非負數(shù)，求函數(shù)f（a）=2-a|a+3|的值域．

Answer 1

分析：（1）二次函數(shù)的值域，可以結合二次函數(shù)的圖象去解答，這里二次函數(shù)圖象開口向上，△=0時，值域為[0，+∞）
（2）在（1）的結論下，化簡函數(shù)f（a），轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題．

解答：解：（1）∵函數(shù)的值域為[0，+∞），即二次函數(shù)f（x）=x²-4ax+2a+6圖象不在x軸下方，
∴△=0，即16a²-4（2a+6）=0，∴2a²-a-3=0，
解得：a=-1或a=

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．
（2）由（1）知，對一切x∈R函數(shù)值均為非負數(shù)，
有△≤0，即-1≤a≤

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；∴a+3＞0，
∵f（a）=2-a|a+3|=-a²-3a+2=-(a+

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)²+

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，其中  (a∈[-1，

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])；
∴二次函數(shù)f（a）在[-1，

3

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]上單調(diào)遞減．
∴f(

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)≤f（a）≤f（-1），即-

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≤f（a）≤4，
∴f（a）的值域為[-

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，4]．

點評：本題屬于二次函數(shù)的值域問題，通常結合二次函數(shù)的圖象，容易解得問題．