Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AB=AC，M、Q分別是CC₁、BC的中點，如果對線段A₁B₁上任一點P，都有PQ⊥AM，則∠BAC=

90°

．

Answer 1

分析：先通過AC的中點N構造平面平面A₁NQB₁，由題意得到AM⊥平面A₁NQB₁，借助直線與平面垂直的性質定理，從而得到直線AM⊥NQ，最后結合線面垂直的性質定理即可得到結論．

解答：解：如圖
取AC的中點N，連接A₁N、QN，
∵對線段A₁B₁上任一點P，都有PQ⊥AM，
可得：AM⊥平面A₁NQB₁，又NQ?平面A₁NQB₁，
∴AM⊥NQ，又NQ∥AB，
∴AM⊥AB，
又AB⊥AA₁，AA₁，AM?平面ACC₁A₁，
∴AB⊥平面ACC₁A₁，AC?平面ACC₁A₁，
∴AC⊥AB
則∠BAC=90°
故答案為：90°．

點評：本小題主要考查棱柱的結構特征，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于基礎題．