Question

求證：如果一個平面經過一條線段的中點，那么這條線段的兩個端點到平面的距離相等.

Answer 1

見解析

已知：線段AB的中點為O，O∈平面α.
求證：A、B兩點到平面α的距離相等.
證明：(1)當線段在平面α上時，A、B兩點顯然到平面α的距離相等且為0.
(2)當線段AB不在平面α上時，作AA₁⊥α，BB₁⊥α，A₁和B₁為垂足，則AA₁，BB₁分別是A、B到平面α的距離；且AA₁∥BB₁，AA₁、BB₁確定平面β，β∩α＝A₁B₁
∵O∈AB,，ABβ
∴O∈β，又O∈α
∴O∈A₁B₁
∴AA₁⊥A₁O，BB₁⊥B₁O
∵∠AOA₁＝∠BOB₁，AO＝BO
∴Rｔ△AA₁O≌Rｔ△BB₁O
∴AA₁＝BB₁，即線段AB的兩個端點到平面α的距離相等.