Question

已知雙曲線與橢圓有相同的焦點，點、分別是橢圓的右、右頂點，若橢圓經過點．
（1）求橢圓的方程；
（2）已知是橢圓的右焦點，以為直徑的圓記為，過點引圓的切線，求此切線的方程；
（3）設為直線上的點，是圓上的任意一點，是否存在定點，使得？若存在，求出定點的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）．（Ⅱ）．（Ⅲ）存在定點

解析試題分析：（Ⅰ）依題意，，
所以橢圓的方程為，
代入D點坐標，解得，由此得，
所以橢圓的方程為．                     （4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，故圓的方程為，
則由知，點在圓上，
因為，所以切線的斜率為，
故所求切線的方程為，
即．                           （8分）
（Ⅲ）設，假設存在點滿足題意，
則，
點在圓C：上，，
化簡得，
因為該式對任意的恒成立，則解得
故存在定點對于直線上的點及圓上的任意一點使得成立．                           （12分）
考點：本題考查了橢圓方程及直線與圓的位置關系
點評：從近幾年課標地區的高考命題來看，解析幾何綜合題主要考查直線和圓錐曲線的位置關系以及范圍、最值、定點、定值、存在性等問題，直線與多種曲線的位置關系的綜合問題將會逐步成為今后命題的熱點，尤其是把直線和圓的位置關系同本部分知識的結合，將逐步成為今后命題的一種趨勢.近幾年高考題中經常出現了以函數、平面向量、導數、數列、不等式、平面幾何、數學思想方法等知識為背景，綜合考查運用圓錐曲線的有關知識分析問題、解決問題的能力，試題風格每年都有所創新，但總體穩定.